BILANGAN GENAP

Bilangan genap adalah bilangan yang habis dibagi oleh bilangan 2, seharusnya yang lengkap adalah {0,2,4,6,...}. Secara umum bilangan genap ditulis : 2n, dgn n adalah bil bulat {0,1,2,3, ... }

Jumlah dua bilangan ganjil adalah bilangan genap.

Jumlah dua bilangan ganjil artinya penjumlahan dari (2k – 1) + (2k – 1). Yang hasilnya adalah 4k – 2 = 2(2k – 1). Misalkan. 2k – 1 = m, maka bentuk terakhir dapat ditulis sebagai 2m. dimana ini merupakan rumus untuk bilangan genap. Jadi, dapat diambil kesimpulan bahwa jumlah dua bilangan ganjil berapapun akan menghasilkan bilangan genap.

Jumlah dua bilangan genap adalah bilangan genap.

Jumlah dua bilangan genap artinya penjumlahan dari (2k) + (2k). Yang hasilnya adalah 4k = 2(2k). Misalkan. 2k = n, maka bentuk terakhir dapat ditulis sebagai 2n. dimana ini merupakan rumus untuk bilangan genap. Jadi, dapat diambil kesimpulan bahwa jumlah dua bilangan genap berapapun akan menghasilkan bilangan genap.

Cara cepat berhitung penjumlahan bilangan genap.

Contoh

1. 2 + 4 + 6 + 8 + 10 =
Bilangan yang terbesar adalah 10, maka
10 + 2 = 12
12 : 2 = 6
6 kuadrat = 36
Akar 36 = 6
36 - 6 = 30
Jadi, hasilnya adalah 30

2. 2 + 4 + 6 + 8.....+ 22 =
Bilangan terbesar adalah 22, maka
22 + 2 = 24
24 : 2 = 12
12 kuadrat = 144
Akar 144 = 12
144 - 12 = 132
Jadi, hasilnya adalah 132

Dan untuk menguasai rumus ini harus bisa akar pangkat dua, kuadrat dan pembagian.

BILANGAN GANJIL

Definisi Bilangan Ganjil Dan Genap

Bilangan ganjil adalah bilangan yang jika dibagi 2 memiliki sisa 1l. Contohnya jika kita punya bilangan 22 di bagi 2 akan menghasilkan 11 tanpa sisa. Sedangkan 23 jika dibagi 2 akan menghasilkan 11 sisa 1.

Bilangan ganjil ditambah bilangan genap adalah bilangan ganjil.

Jumlah dua bilangan dengan yang satu adalah bilangan ganjil dan yang satunya adalah bilangan genap artinya penjumlahan dari (2k – 1) + (2k). Yang hasilnya adalah 4k – 1 = 2(2k) – 1. Misalkan. 2k = a, maka bentuk terakhir dapat ditulis sebagai 2a – 1. dimana ini merupakan rumus untuk bilangan ganjil. Jadi, dapat diambil kesimpulan bahwa jumlah dua bilangan dengan yang satu adalah bilangan ganjil dan yang satunya adalah bilangan genap akan menghasilkan bilangan genap.

Pada aturan yang pertama dikatakan bahwa jumlah dua bilangan ganjil adalah bilangan genap. Berlandaskan ini, kita dapatkan bahwa hasil dari Bilangan Prima ganjil + Bilangan Prima ganjil adalah sebuah bilangan genap. Dan bilangan genap tersebut tidak akan sama dengan 2. Sehingga, pasti bilangan tersebut merupakan bilangan komposit (bukan bilangan prima).

Keajaiban bilangan ganjil

1+3=4

1+3+5=9

1+3+5+7=16

1+3+5+7+9=25

Apa kalian sadar bahwa 4,9,16 adalah bilangan kuadrat sempurna dimana . Cobalah bikin deret bilangan dari 1 sampai ke-n bilangan ganjik maka kita SELALU mendapatkan bilangan kudrat sempurna. Sebagai contoh

1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100

Kenapa bisa begitu?

Perhatikan gambar dibawah ini

Di baris atas, setiap potongan L mempunyai kotak yang banyaknya ganjil, dibaris bawah kita mengabungkan tiap-tiap L dari kiri ke kanan, L pertama yang mempunyai satu kotak kita gabung dengan L kedua yang mempunyai tiga kotak, L pertama dan kedua kita gabung dengan L ketiga yang mempunyai liam kotak begitu seterusnya maka tiap-tiap penggabungan kita akan mendapat bentuk bujursangkar yang mempunyai kotak sebanyak

BILANGAN RASIONAL

Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk p/q dengan p dan q masing-masing bilangan bulat dan q tidak sama dengan 0. Semua bilangan bulat merupakan bilangan rasional. Misalkan n adalah suatu bilangan bulat, maka n senantiasa dapat dituliskan sebagai n/1.
Contohnya:
• 5=5/1
• 12=12/1

Selain bilangan bulat ada bilangan rasional yang dikenal sebagai bilangan pecahan, salah satu contohnya bilangan yang lambangnya 1/2, dibaca satu per dua atau dikenal dengan nama setengah. Contoh yang lain adalah 3/4 dibaca tiga per empat. Dan masih tak hingga banyak lagi contoh yang lain.

Dilihat dari penulisannya, sebuah bilangan rasional terdiri atas 2 bagian, yaitu bagian atas dikatakan sebagai pembilang dan bagian bawah dikatakan sebagai penyebut dari sebuah bilangan rasional. Apabila pada suatu bilangan rasional, pembilangnya lebih kecil dari penyebutnya, maka nilai bilangan rasional itu lebih kecil dari 1. Dan apabila pembilangnya lebih besar dari penyebutnya, maka nilai bilangan rasional itu lebih besar dari 1. Sedangkan apabila pembilangnya sama dengan penyebutnya maka nilai bilangan rasional itu sama dengan 1.

Kalau dihitung dengan kalkulator x2=1,414213562...
Kalau dilihat pada garis bilangan, x2 terletak diantara bilangan bulat 1 dan 2.

BILANGAN KOMPOSIT

Bilangan komposit adalah bilangan asli lebih besar dari 1 yang bukan merupakan bilangan prima. Bilangan komposit dapat dinyatakan sebagai faktorisasi bilangan bulat, atau hasil perkalian dua bilangan prima atau lebih. Sepuluh bilangan komposit yang pertama adalah 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, dan 18.

Bilangan Prima ganjil + Bilangan Prima ganjil = Bilangan Komposit

Setiap bilangan prima adalah ganjil kecuali 2. Sehingga dengan konsep penjumlahan pada bilangan ganjil dan genap berlaku hal seperti iti. Yaitu Bilangan Prima ganjil + Bilangan Prima ganjil = Bilangan Komposit. Perhatikan sifat penjumlahan untuk bilangan ganjil dan bilangan genap berikut

BILANGAN IRASIONAL

Bilangan irasional adalah bilangan riil yang tidak bisa dibagi (hasil baginya tidak pernah berhenti). Dalam hal ini, bilangan irasional tidak bisa dinyatakan sebagai a/b, dengan a dan b sebagai bilangan bulat dan b tidak sama dengan nol. Jadi bilangan irasional bukan merupakan bilangan rasional.
Contoh yang paling populer dari bilangan irasional ini adalah bilangan π, \sqrt2 , dan bilangan e.

Bilangan π sebetulnya tidak tepat, yaitu kurang lebih 3.14, tetapi
= 3,1415926535.... atau
= 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510...

Untuk bilangan \sqrt2 :
= 1,4142135623730950488016887242096.... atau
= 1,41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 80731 76679 73798..

Akar dua yang dilambangkan dengan x2, adalah suatu bilangan, sebut saja x, yang memenuhi x²=2. Bilangan x2 muncul sebagai akibat adanya teorema yang kebenarannya ditunjukan oleh Phytagoras, seorang filsuf dari Yunani.
Misalkan sebuah segitiga siku-siku dengan panjang masing-masing sisi siku-sikunya adalah a dan b. Dan panjang sisi miringnya adalah c,maka akan memenuhi persamaan:

c²=a²+b²

Apabila segitiga tersebut merupakan segitiga siku-siku samakaki dengan panjang sisi siku-sikunya adalah 1, maka panjang sisi miringnya, yang dinamai c, mamenuhi persamaan berikut:

c²=1²+1²
c²=1+1
c²=2
c=x2

Bilangan irasional adalah bilangan yang bukan bilangan rasional

dan untuk bilangan e:
= 2,7182818....

Sejarah

Menurut sejarah, penemu bilangan irasional adalah Hippasus dari Metapontum (ca. 500 SM). Sayangnya, penemuannya tersebut justru menyebabkan ia dihukum mati oleh Pythagoras karena dianggap penganut ajaran sesat.

BILANGAN BULAT

Bilangan bulat terdiri dari bilangan cacah (0, 1, 2, ...) dan negatifnya (-1, -2, -3, ...; -0 adalah sama dengan 0 dan tidak dimasukkan lagi secara terpisah). Bilangan bulat dapat dituliskan tanpa komponen desimal atau pecahan.

Himpunan semua bilangan bulat dalam matematika dilambangkan dengan Z (atau \mathbb{Z}), berasal dari Zahlen (bahasa Jerman untuk "bilangan").


Himpunan Z tertutup di bawah operasi penambahan dan perkalian. Artinya, jumlah dan hasil kali dua bilangan bulat juga bilangan bulat. Namun berbeda dengan bilangan asli, Z juga tertutup di bawah operasi pengurangan. Hasil pembagian dua bilangan bulat belum tentu bilangan bulat pula, karena itu Z tidak tertutup di bawah pembagian.

BILANGAN REAL

Bilangan riil dapat digambarkan sebagai titik-titik pada garis bilangan yang panjangnya takhingga

Dalam matematika, bilangan riil atau bilangan real menyatakan bilangan yang bisa dituliskan dalam bentuk desimal, seperti 2,4871773339… atau 3.25678. Bilangan real meliputi bilangan rasional, seperti 42 dan −23/129, dan bilangan irasional, seperti π dan sqrt2. Bilangan rasional direpresentasikan dalam bentuk desimal berakhir, sedangkan bilangan irasional memiliki representasi desimal tidak berakhir namun berulang. Bilangan riil juga dapat direpresentasikan sebagai salah satu titik dalam garis bilangan.[1]

Definisi popular dari bilangan real meliputi klas ekivalen dari deret Cauchy rasional, irisan Dedekind, dan deret Archimides.

Bilangan riil ini berbeda dengan bilangan kompleks yang termasuk di dalamnya adalah bilangan imajiner.

BILANGAN CACAH

Bilangan cacah adalah himpunan bilangan bulat yang tidak negatif, yaitu {0, 1, 2, 3 ...}. Dengan kata lain himpunan bilangan asli ditambah 0.Jadi, bilangan cacah harus bertanda positif.

BILANGAN PRIMA

bilangan prima adalah bilangan yang hanya habis dibagi oleh 1 dan bilangan itu sendiri, misal 3, hanya bisa dibagi 1 dan 3.
Cara yang lazim untuk menemukan bilangan prima adalah dengan menyiapkan angka-angka dan memberi warna sesuai dengan kelipatan 2 hingga 9, nah, kotak yang tersisa (tidak berwarna) adalah merupakan bilangan prima.

Yang menarik adalah, aturan bagi bilangan prima adalah mudah, namun tidak ada rumus atau persamaan mudah untuk menentukan apakah sebuah bilangan –mungkin-- yang amat besar adalah merupakan bilangan prima atu bukan.

Sebagai informasi, bilangan prima terbesar yang pernah dihitung oleh manusia adalah 170.141.183.460.469.231.731.687.303.715.864.105.727, atau 2(127) -1, yang "ditemukan" oleh seorang matematikawan Inggris Arthur Lucas pada tahun 1877.

BILANGAN IMAJINER

Apabilan sebuah bilangan bukan merupakan bilangan nyata( dalam artian bilangan tersebut bukan merupakan bilangan rasional maupun irasional ), maka bilangan tersebut dikatakan imajiner. Bilangan imajiner dinyatakan dengan b i, b  R dan i = atau i2 = -1

Salah satu bilangan yang banyak menarik perhatian khalayak ilmu pengetahuan karena dianggap misterius adalah bilangan imajiner i, yakni akar pangkat dua dari -1, atau sqrt(-1). Suatu bilangan biasanya menyatakan konsep (pencacahan) yang ada hubungannya dengan kehidupan manusia sehari-hari. Angka 1, 2, 3 .. dst dapat dipakai untuk mengatakan kita punya satu ekor kucing, dua buah mangga, atau tiga batang coklat. Bilangan pecahan ½ kita pakai sewaktu mangga yang kita makan tinggal separuh-nya. Demikian pula, bilangan negatif bermakna bahwa kita punya hutang coklat di warung sebelah rumah, sedangkan nol bisa berarti cicilan kita sudah lunas. Kita dapat mengatakan bahwa bilangan-bilangan yang sehari-hari kita pakai tadi sebagai sesuatu yang konkrit. Lantas apa itu arti dari sqrt(-1)? Apakah i juga konkrit? Yang jelas, Matematikawan sudah sepakat menyebutnya sebagai bilangan imajiner, bukan riil

Menurut sejarah, i diperkenalkan ketika orang tidak dapat menemukan akar dari polinomial tertentu. Polinomial orde dua atau persamaan kuadrat y = x2 -5x + 6 memiliki akar 2 dan 3, ini berarti bahwa penggantian (substitusi) kedua bilangan ini pada x akan menghasilkan y yang nilainya nol. Kesulitan muncul ketika kita mencari nilai x yang membuat nol persamaan y = x2 + 1. Untuk menjawab pertanyaan ini, terpaksalah sqrt(-1) dibuat ada dan orang menyebutnya sebagai bilangan imajiner i.

Semula bilangan i ini dipakai dikalangan Matematikawan saja. Kemudian Fisikawan mendapatkan kejutan ketika Schrodinger memasukkan bilangan ini kedalam persamaan gelombang-nya. Bahkan, belakangan bilangan ini dipakai juga dalam bidang kerekayasaan (engineering). Karena dalam kerekayasaan kita bergaul dengan dunia nyata, dunia yang konkrit, sering timbul pertanyaan apakah i hanya sekedar konsep, ataukah obyek yang benar-benar ada? Apakah obyek imajiner ini sekedar abstrak ataukah obyek yang konkrit?

Agar lebih umum, kita akan meninjau bilangan kompleks, yaitu bilangan yang bisa dituliskan sebagai z = x + iy. Bilangan ini terdiri dari bagian riil x dan bagian imajiner y. Melalui uraian deret, Euler menemukan hubungan antara eksponensial kompleks dengan fungsi trigonometri.

eiw = cos(w) + i sin(w)

Dengan demikian, sebuah bilangan kompleks z dapat dinyatakan dalam bentuk z = |z| eiArg(z), dimana Arg(z) menyatakan sudut dari bilangan kompleks. Dalam bidang kompleks, sudut ini diukur dari sumbu x-positif kearah berlawanan jarum jam.

Pada pelajaran Rangkaian Listrik (RL) dan Elektromagnetika (EM), bilangan kompleks dipakai untuk menyatakan fasor. Penggunaannya disini semata-mata hanya untuk memudahkan perhitungan. Dengan fasor, perhitungan yang seharusnya dilakukan dengan kalkulus diferensial dapat diubah menjadi perhitungan aritmetika biasa yang lebih mudah dilakukan. Jadi, dalam bidang Teknik Elektro orang telah memakai bilangan kompleks untuk keperluan praktis. Disamping RL dan EM, dari PSD (Pengolahan Sinyal Dijital) kita mengetahui bahwa transform Fourier dari sinyal riil akan menghasilkan deretan kompleks (yang berkonjugasi simetrik).

Barangkali konsep konkrit atau abstrak, ada atau tidak ada, berhubungan dengan kebiasaan. Kalau mau bersikap reduksionis, kita bisa menyatakan bahwa suatu obyek itu ada karena bisa diukur. Dengan demikian, secara perlahan misteri ini akan mulai terungkap.

Beberapa jenis pencitraan koheren, seperti radar interferometri (InSAR), teleskop radio interferometri (VLBI-Very Large Baseline Interferometry), MRI (Magnetic Resonance Imaging), atau SFCW (Step-Frequency Continuous Wave) radar, dan juga modem yang mempergunakan informasi fasa, misalnya keluarga PSK (Phase-Shift Keying), mengeluarkan hasil pengukuran yang berupa bilangan kompleks. Komponen elektronik yang bertanggung jawab menghasilkan bilangan kompleks ini adalah demodulator kuadratur (I/Q Demodulator).

Saat ini di Lab Radar (LTRGM-ITB) belum ada InSAR, tidak ada VLBI, apalagi MRI, tetapi masih beruntung karena ada VNA (vector network analyzer) yang dapat dipakai untuk membuat radar SFCW. Radar jenis ini melakukan pengukuran pantulan sinyal radar pada kawasan frekuensi; yang tak lain adalah koefisien Fourier dari suatu sinyal UWB (ultrawide band). Selanjutnya kita melakukan inversi dengan IDFT (inverse Discrete Fourier Transform ) untuk mensintesis gema radar pada kawasan waktu. Karena sinyal ini riil, koefisien Fourier yang diukur haruslah kompleks, seperti yang dikatakan oleh PSD. Dengan memakai VNA, koefisien ini bisa diperoleh dari S21 yang terukur, dan koefisien ini memang bernilai kompleks.

BILANGAN KOMPLEK

Bilangan nyata adalah semua bilangan yang dapat ditemukan pada garis bilangan dengan cara penghitungan, pengukuran, atau bentuk geometrik. Bilangan –bilangan tersebut ada di dunia nyata. Ada berbagai macam bilangan yang termasuk dalam bilangan nyata.

Bilangan komplek adalah suatu bilangan yang merupakan penjumlahan antara bilangan real dan bilangan imajiner. Bilagan komplek dinyatakan dengan a + bi, a e R , b e R. Contohnya : 3 + 4i, 5 – 7i.