BILANGAN IMAJINER

Apabilan sebuah bilangan bukan merupakan bilangan nyata( dalam artian bilangan tersebut bukan merupakan bilangan rasional maupun irasional ), maka bilangan tersebut dikatakan imajiner. Bilangan imajiner dinyatakan dengan b i, b  R dan i = atau i2 = -1

Salah satu bilangan yang banyak menarik perhatian khalayak ilmu pengetahuan karena dianggap misterius adalah bilangan imajiner i, yakni akar pangkat dua dari -1, atau sqrt(-1). Suatu bilangan biasanya menyatakan konsep (pencacahan) yang ada hubungannya dengan kehidupan manusia sehari-hari. Angka 1, 2, 3 .. dst dapat dipakai untuk mengatakan kita punya satu ekor kucing, dua buah mangga, atau tiga batang coklat. Bilangan pecahan ½ kita pakai sewaktu mangga yang kita makan tinggal separuh-nya. Demikian pula, bilangan negatif bermakna bahwa kita punya hutang coklat di warung sebelah rumah, sedangkan nol bisa berarti cicilan kita sudah lunas. Kita dapat mengatakan bahwa bilangan-bilangan yang sehari-hari kita pakai tadi sebagai sesuatu yang konkrit. Lantas apa itu arti dari sqrt(-1)? Apakah i juga konkrit? Yang jelas, Matematikawan sudah sepakat menyebutnya sebagai bilangan imajiner, bukan riil

Menurut sejarah, i diperkenalkan ketika orang tidak dapat menemukan akar dari polinomial tertentu. Polinomial orde dua atau persamaan kuadrat y = x2 -5x + 6 memiliki akar 2 dan 3, ini berarti bahwa penggantian (substitusi) kedua bilangan ini pada x akan menghasilkan y yang nilainya nol. Kesulitan muncul ketika kita mencari nilai x yang membuat nol persamaan y = x2 + 1. Untuk menjawab pertanyaan ini, terpaksalah sqrt(-1) dibuat ada dan orang menyebutnya sebagai bilangan imajiner i.

Semula bilangan i ini dipakai dikalangan Matematikawan saja. Kemudian Fisikawan mendapatkan kejutan ketika Schrodinger memasukkan bilangan ini kedalam persamaan gelombang-nya. Bahkan, belakangan bilangan ini dipakai juga dalam bidang kerekayasaan (engineering). Karena dalam kerekayasaan kita bergaul dengan dunia nyata, dunia yang konkrit, sering timbul pertanyaan apakah i hanya sekedar konsep, ataukah obyek yang benar-benar ada? Apakah obyek imajiner ini sekedar abstrak ataukah obyek yang konkrit?

Agar lebih umum, kita akan meninjau bilangan kompleks, yaitu bilangan yang bisa dituliskan sebagai z = x + iy. Bilangan ini terdiri dari bagian riil x dan bagian imajiner y. Melalui uraian deret, Euler menemukan hubungan antara eksponensial kompleks dengan fungsi trigonometri.

eiw = cos(w) + i sin(w)

Dengan demikian, sebuah bilangan kompleks z dapat dinyatakan dalam bentuk z = |z| eiArg(z), dimana Arg(z) menyatakan sudut dari bilangan kompleks. Dalam bidang kompleks, sudut ini diukur dari sumbu x-positif kearah berlawanan jarum jam.

Pada pelajaran Rangkaian Listrik (RL) dan Elektromagnetika (EM), bilangan kompleks dipakai untuk menyatakan fasor. Penggunaannya disini semata-mata hanya untuk memudahkan perhitungan. Dengan fasor, perhitungan yang seharusnya dilakukan dengan kalkulus diferensial dapat diubah menjadi perhitungan aritmetika biasa yang lebih mudah dilakukan. Jadi, dalam bidang Teknik Elektro orang telah memakai bilangan kompleks untuk keperluan praktis. Disamping RL dan EM, dari PSD (Pengolahan Sinyal Dijital) kita mengetahui bahwa transform Fourier dari sinyal riil akan menghasilkan deretan kompleks (yang berkonjugasi simetrik).

Barangkali konsep konkrit atau abstrak, ada atau tidak ada, berhubungan dengan kebiasaan. Kalau mau bersikap reduksionis, kita bisa menyatakan bahwa suatu obyek itu ada karena bisa diukur. Dengan demikian, secara perlahan misteri ini akan mulai terungkap.

Beberapa jenis pencitraan koheren, seperti radar interferometri (InSAR), teleskop radio interferometri (VLBI-Very Large Baseline Interferometry), MRI (Magnetic Resonance Imaging), atau SFCW (Step-Frequency Continuous Wave) radar, dan juga modem yang mempergunakan informasi fasa, misalnya keluarga PSK (Phase-Shift Keying), mengeluarkan hasil pengukuran yang berupa bilangan kompleks. Komponen elektronik yang bertanggung jawab menghasilkan bilangan kompleks ini adalah demodulator kuadratur (I/Q Demodulator).

Saat ini di Lab Radar (LTRGM-ITB) belum ada InSAR, tidak ada VLBI, apalagi MRI, tetapi masih beruntung karena ada VNA (vector network analyzer) yang dapat dipakai untuk membuat radar SFCW. Radar jenis ini melakukan pengukuran pantulan sinyal radar pada kawasan frekuensi; yang tak lain adalah koefisien Fourier dari suatu sinyal UWB (ultrawide band). Selanjutnya kita melakukan inversi dengan IDFT (inverse Discrete Fourier Transform ) untuk mensintesis gema radar pada kawasan waktu. Karena sinyal ini riil, koefisien Fourier yang diukur haruslah kompleks, seperti yang dikatakan oleh PSD. Dengan memakai VNA, koefisien ini bisa diperoleh dari S21 yang terukur, dan koefisien ini memang bernilai kompleks.